污水处理能够去除污水中的有机污染物以及氮、磷等污染物，对于改善水环境至关重要^[1,2]。面对越来越严格的出水标准，污水处理过程（wastewater treatment processes，WWTP）需要维持稳定、高效的运行以改善出水水质。而在污水处理过程中，溶解氧（dissolved oxygen，DO）浓度直接影响着好氧区微生物的生长与活性，是污水处理系统稳定运行的关键^[2]。因此，对DO浓度的实时精确控制十分必要。

近年来，污水处理过程中DO浓度的控制问题引起了国内外许多学者的广泛关注^[6,7]、神经网络控制^[8,9,10,11]等）被广泛应用到DO浓度的控制中。Belchior C A C等人^[7]提出一种自适应模糊控制算法，提高了DO浓度控制算法的自适应性，但模糊规则的获取依靠专家经验，控制精度仍有待提高。Bo Y C等人^[8]提出一种基于回声状态网络（echo state network，ESN）的自适应动态规划控制方法，并在基准仿真1号模型（benchmark simulation model No.1，BSM1）的干燥天气工况下进行实验，结果表明，基于ESN的自适应动态规划控制方法具有较高的DO浓度控制精度。但是，污水处理过程入水工况多变，干扰频繁，基于ESN的控制方法难以保证系统的稳定性。近来，模糊神经网络（fuzzy neural network，FNN）因既有处理模糊信息的能力，又具有神经网络的自学习能力，而被广泛应用在工业过程的建模与控制中^{[9,10,11,12,13,14]}。例如， Qiao J F等人^[10]提出一种基于模糊神经网络的自组织模糊控制（self-organizing fuzzy control，SOFC）方法，基于模糊神经网络自动获取模糊规则，提高了DO浓度控制的自适应能力与控制精度。周红标^[11]构建了一种自组织模糊神经网络（self-organizing fuzzy neural network，SOFNN）控制器，大大提高了DO浓度控制系统的稳定性与控制精度。

尽管基于神经网络建立的DO浓度控制器具有较好的自适应能力与较高的控制精度，但这些方法均采用传统的均方误差（mean square error，MSE）准则设计控制器。由于污水处理过程具有干扰频繁与不确定性强的特征，实际数据中往往存在较大的异常值，基于 MSE 的建模容易受到干扰。熵作为随机变量不确定度的度量^[15]，近来被用作建模的性能指标，主要有最小误差熵（minimum error entropy， MEE）准则^[16]和最大相关熵（maximum correntropy criterion，MCC）准则^[17]两种形式。然而，MEE准则计算负担大，且对误差的平均值不敏感。因此，选择基于相关熵建立控制器的性能指标。

基于以上分析，本文提出一种基于相关熵模糊神经网络（correntropy based fuzzy neural network， CFNN）的 DO 浓度在线控制方法。首先，构建了基于CFNN的控制器，通过梯度下降算法在线更新控制器参数，并在理论上分析了控制系统的稳定性。其次，选取DO浓度跟踪误差与误差变化率作为控制器的输入。最后，基于BSM1，选择雨天、暴雨两种工况进行实验验证。

考虑式（1）所示的非线性时变系统：

其中，$x_k\in {ℝ}^n$为状态量，$u_k\in ℝ$为控制量,$y_k\in ℝ$为系统输出，f(·)与g(·)为关于系统状态量与控制量的非线性函数，d_k为系统干扰。

污水处理系统是一个非线性动态系统，由于函数f(·)与g(·)是未知的，很难通过建立精确的数学模型对 DO 浓度进行在线控制。因此，采用 FNN 逼近理想控制率，构建基于CFNN的在线控制系统，其结构如图1所示。

在图1所示的控制系统中，控制器的输入为系统跟踪误差e与误差变化率Δe。

其中，e_k为k时刻污水处理过程中控制系统的跟踪误差，r_k与y_k分别为k时刻DO浓度的设定值与系统实际输出值。控制量u为污水处理系统第五单元氧传递系数K_La5的增量，J 为控制器参数学习的性能指标。

相关熵作为一种局部相似度度量，表示任意两个随机变量之间的广义相关性，而且基于相关熵的准则被证明在分离异常值方面比MSE准则更有效^[18]。对于任意两个随机向量$x$与$y$，其相关熵$V(x,y)$可以表示为：

其中，$E[\cdot ]$为数学期望，$\kappa (\cdot )$为任意Mercer核函数，这里选择高斯核函数作为相关熵的核函数，如下所示：

其中，σ_g＞0为核宽度参数。

然而，在实际的控制器参数优化中，采用梯度下降算法的目标是求解最小误差。因此，采用相关熵诱导度量（correntropy induced metric，CIM）性能指标，对CIM进行最小化等同于求最大相关熵^[18]。

其中，x_i与y_i分别为向量$x$与$y$的第i个元素，K为向量维度。

模糊神经网络同时具有模糊逻辑的规则映射能力与神经网络的自学习能力，能够实现规则的在线提取以及相应参数的在线优化^[12]。采用如图2所示的4层结构的FNN设计控制器，跟踪DO浓度的设定值。该 FNN 包含输入层、隶属函数层、规则层以及输出层，网络的数学描述如下。

其中，u为FNN的输出，$v=\text{}[v_1,v_2,L,v_L\text{}]\in \text{}{ℝ}^L$ 为规则层的输出矩阵，$w\text{}\text{}=\text{}{\left[w_1,w_2,\cdots ,w_L\right]}^T\text{}\text{}\in \text{}{ℝ}^L$为连接规则层与输出层的权重矩阵，j=1,2,…,L 为规则层的模糊规则数。其中，规则层的第j个神经元的输出v_j为：

其中，$x\text{}=\text{}{\left[x_1,x_2\right]}^{\top }\text{}$ 为 FNN 的输入向量，$c_j=[c_{1,j},c_{2,j}]{}^{\top }$与${\sigma }_j={\left[{\sigma }_{1,j},{\sigma }_{2,j}\right]}^{\top }$分别为第j个模糊规则R_j对应的隶属函数层的中心向量与宽度向量。

为了实现 FNN 控制器的参数的在线学习，将式（5）所示的性能指标改写为以下形式：

其中，J_k为k时刻的性能指标。令$\Theta ={\left[c^T,{\sigma }^T,w^T\right]}^T$为 FNN 的参数矩阵，其中$c={\left[c_1,c_2,\cdots ,c_L\right]}^T$ 与$\sigma ={\left[{\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_r\right]}^{\top }$ 分别为 FNN 的中心矩阵与宽度矩阵。

采用梯度下降算法在线优化FNN控制器的参数：

其中，η₀∈(0,1)表示FNN控制器参数的学习率。

其中，

令$\eta =\frac{{\eta }_0}{\sqrt{2\text{π}}{\sigma }_g^3}$，则式（9）可以被改写为：

基于以上分析，CFNN控制器设计的主要步骤如下。

步骤一 初始化CFNN控制器参数。随机初始化网络参数$\Theta$，设置CFNN的规则数L、网络参数学习率η₀以及DO浓度设定值。

步骤二 计算控制器的输入，即当前时刻 DO浓度的跟踪误差e_k与误差变化率Δe_k。

步骤三 估计控制率，即CFNN的输出u。基于BSM1对CFNN进行训练，根据式（6）与式（7）计算网络输出。

步骤四 计算性能指标J_k的值，并根据式（12）更新CFNN的参数。

步骤五 根据输出的控制率u更新WWTP系统的K_La5，若全部仿真数据运行完毕，结束循环；否则，转到步骤二。

为了分析基于CFNN的控制系统的稳定性，构造如下李雅普诺夫函数：

结合式（13）与式（9）～（12）可得：

令$h_k=e_{k+1}^2-e_k^2$,Δe_k =e_k+1-e_k，则：

其中，

将式（16）代入式（15）可得：

由于$e_k^2\ge 0$ ，当$0＜\eta ＜2/\left({\left(\frac{\partial y_k}{\partial {\Theta }_k}\right)}^{\top }\frac{\partial y_k}{\partial {\Theta }_k}\right)$时， h(k)≤0，结合式（14）可知ΔV_k≤0，根据李雅普诺夫稳定性定理，CFNN控制系统稳定。

为了验证基于CFNN的DO浓度在线控制系统的性能，基于国际水协会（International Water As Research，COST）开发的BSM1进行了实验研究。采用平方误差积分（integral of squared error， ISE）、绝对误差积分（integral of absolute error，IAE）、最大偏差（maximal deviation from set point，Dev^max） 3个评价指标分析控制器的精度与稳定性^[19]。sociation，IWA）与欧盟科技合作组织（European Co-operation in the Field of Scientific and Technical

其中，e为DO浓度设定值（用So表示）与控制系统实际输出的DO浓度之间的误差。

（1）实验数据

BSM1提供了干燥、雨天、暴雨3种天气工况下14天的污水入水数据，采样周期为15 min。为了评估CFNN控制器的控制精度与抗干扰能力，本实验选取入水波动较大的雨天与暴雨工况数据进行测试。雨天工况的数据：基于干燥天气数据，在第8～11天增加了持续降雨过程。暴雨工况的数据：基于干燥天气数据，在第 9 天和第 11 天增加了突发暴雨事件，入水流量大幅增加。

（2）参数设置

CFNN 的模糊规则数 L=6，参数学习率η₀=0.001，核宽度σ_g =1。实验中，分别考虑DO浓度设定值为固定值（So=2 mg⋅L^-1）与阶跃变化的值（So = 1.8～2.2 mg⋅L^-1）两种情况。

实验首先采用恒定的 DO 浓度设定值，即So=2 mg⋅L^-1。基于 BSM1 雨天与暴雨工况数据进行仿真，采用前 7 天的数据进行训练，采用后7天的数据进行验证。为了验证基于CFNN的DO 浓度在线控制方法的性能，将实验结果与SOFC^[10]、SOFNN^[11]、直接自适应动态神经网络控制（direct adaptive dynamic neural network control，DADNNC）^[12]等基于MSE准则的控制方法进行了比较。

图3 与图4 分别为雨天工况下基于 CFNN 的DO浓度跟踪控制结果与误差，可以看出CFNN控制器在第8～11天连续降雨的天气下仍具有较好的稳定性，能够有效地跟踪DO浓度设定值。由图4可以看出CFNN控制器的控制精度较高，在第8天工况突变的情况下，仍能维持较高的控制精度。图5给出了控制量K_La5的变化趋势，其变化曲线较为光滑，表明CFNN控制器参数的在线调整能够维持系统的稳定运行。

表1给出了雨天和暴雨两种工况下不同控制器的性能比较。由表1可以看出，与其他基于MSE准则的控制器相比，在两种工况下CFNN控制器都具有最低的 IAE、ISE 与 Dev^max指标值，且结构较为紧凑。其中，ISE 指标值比其他方法至少下降了两个数量级，体现出CFNN控制器具有较高的稳定性。

备注：כ 表示原文中的结果，加粗表示最优指标

为了进一步验证CFNN控制器的性能，雨天工况下，设置DO浓度设定值为阶跃变化的值（So =1.8～2.2 mg⋅L^-1）。图6给出了14天的DO浓度跟踪控制效果，可以看出在DO浓度设定值呈阶跃变化时，CFNN控制器能够快速地跟踪设定值。图7为 DO 浓度的跟踪控制误差，大部分误差分布在区间[-0.002,0.002]，且在So变化时，误差较小，最大误差出现在突发降雨的第 8 天。因此，在DO 浓度设定为阶跃变化的值时，CFNN 仍具有较高的控制精度。图8为控制量K_La5的变化曲线，可以看出在变DO浓度设定值控制方案下，控制量仍维持平稳变化，亦体现了CFNN控制器的稳定性。

表2给出了在雨天工况下，DO浓度设定值为阶跃变化的值时，CFNN、SOFC与DADNNC的控制效果。对比各个方法的控制结果可以看出，CFNN仍具有最低的IAE、ISE与Dev^max指标值，且IAE指标值比另外两种方法下降了一个数量级。该方法Dev^max指标值与恒定So控制方案下的Dev^max指标值偏差较小，表明CFNN控制器在DO浓度设定值变化时仍能维持稳定。基于以上结果分析，CFNN控制器在线跟踪控制DO浓度时具有较高的控制精度，且控制器的稳定性与抗干扰能力较强。

备注：� 表示原文中的结果，加粗表示最优指标

为了实现DO浓度的在线精准控制，提出一种基于相关熵准则的模糊神经网络控制器，建立了基于跟踪误差相关熵的性能准则，采用梯度下降算法在线优化控制器参数，并在BSM1上进行了实验验证。基于CFNN的DO浓度在线控制方法具有以下特点。

（1）构建了基于相关熵的性能指标，相比MSE准则，能够更有效地抑制异常值，更适用于入水波动较大、干扰频繁的污水处理过程。

（2）基于CFNN的DO浓度在线控制方法，能够自适应调整控制器参数，实时跟踪DO浓度设定值，具有控制精度高、稳定性好的特点。

（3）基于BSM1在雨天与暴雨两种工况下进行实验验证。实验结果表明，CFNN控制器与其他基于MSE 准则的神经网络控制器相比，控制精度更高，且具有更强的抗干扰能力，控制器稳定性好。

虽然基于CFNN的在线控制方法能够有效地控制DO浓度，但没有考虑污水处理过程控制系统的经济指标。因此，下一步的研究工作是考虑经济指标，实现污水处理过程的稳定与低能耗运行。