智能科学与技术学报, 2020, 2(3): 293-300 doi: 10.11959/j.issn.2096-6652.202032

学术论文

平行控制与数字孪生：经典控制理论的回顾与重铸

王飞跃,1,2,3

1 中国科学院自动化研究所复杂系统管理与控制国家重点实验室，北京 100190

2 中国科学院大学，北京100049

3 青岛智能产业技术研究院，山东 青岛 266109

Parallel control and digital twins:control theory revisited and reshaped

WANG Fei-Yue,1,2,3

1 The State Key Laboratory for Management and Control of Complex Systems,Institute of Automation,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China

2 University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China

3 Qingdao Academy of Intelligent Industries,Qingdao 266109,China

通讯作者: 王飞跃，feiyue.wang@ia.ac.cn

修回日期: 2020-09-10   网络出版日期: 2020-09-20

基金资助: 国家自然科学基金资助项目.  61533019
国家自然科学基金资助项目.  U1811463

Revised: 2020-09-10   Online: 2020-09-20

Fund supported: The National Natural Science Foundation of China.  61533019
The National Natural Science Foundation of China.  U1811463

作者简介 About authors

王飞跃（1961-），男，博士，中国科学院自动化研究所复杂系统管理与控制国家重点实验室主任，中国科学院大学中国经济与社会安全研究中心主任，青岛智能产业技术研究院院长，主要研究方向为平行系统的方法与应用、社会计算、平行智能以及知识自动化 E-mail：feiyue.wang@ia.ac.cn。

摘要

简要回顾经典控制、智能控制、平行控制的起源与发展，针对具有高精度数字孪生模型的情况，给出相应的平行控制数学形式，并讨论其意义和应用。中心思想是对控制向量的时间导数进行建模，而不是对控制向量本身进行建模，由基于代数关系的控制变为基于微分方程的控制，从而使控制系统与被控系统在数学形式和内容上完全等价，为控制器的拟人化和智能化奠定基础。同时，采用同样思想得出的主动感知的平行传感方程，为智能平行传感器的设计提供了可能的方向。初步分析表明，这一变革具有重要意义，十分适合云边计算范式，值得进行深入探索和研究。

关键词： 平行控制 ; 平行传感 ; 数字孪生 ; 平行智能 ; 平行系统 ; 智能控制

Abstract

After a brief discussion of the origin and development of classic control,intelligent control,and parallel control,the mathematical equations for a class of parallel control systems was presented for problems with high precision digital twin models.The key idea was modeling the time derivative of system control instead of system control itself,which leads to differential equation based control rather than algebraic relationship based control,made the system and its control symmetrical in both form and content mathematically,thus provided the foundation for implementing human-like control and intelligent control.Same idea was also applied to system output equations,and proposed a new way for active sensing and design of parallel sensors.Preliminary results along those lines are illustrated and discussed.

Keywords： parallel control ; parallel sensing ; digital twins ; parallel intelligence ; parallel system ; intelligent control

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王飞跃. 平行控制与数字孪生：经典控制理论的回顾与重铸. 智能科学与技术学报[J], 2020, 2(3): 293-300 doi:10.11959/j.issn.2096-6652.202032

WANG Fei-Yue. Parallel control and digital twins:control theory revisited and reshaped. Chinese Journal of Intelligent Science and Technology[J], 2020, 2(3): 293-300 doi:10.11959/j.issn.2096-6652.202032

1 引言

对平行智能及其支撑平行系统的原始思考源自20世纪80年代初，计算力学中从材料疲劳断裂实验的蒙特卡洛计算机模拟到计算实验的设想[1]，后曾根据美国国家航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）空间站和月球/火星无人系统及其无人工厂的任务要求和实践，于20世纪90年代初被称为“影子系统（shadow systems）”[2]。21世纪初，针对复杂系统的管理与控制，上述系统正式被命名为“平行系统”[3]，该系统的核心是基于ACP方法，利用人工系统进行计算实验、生产数据、提炼智能；通过虚实互动、平行驱动和平行执行，构造虚实空间之间的双反馈和大闭环，完成“小数据、大数据、深智能”的智能系统“三步曲”。

平行系统的基本框架如图1所示，平行系统包括主要为物理形态的实际系统和软件形态的人工系统，并以学习与培训、实验与评估、管理与控制3种基础模式运行。其中实际系统与人工系统的对应关系可以是一对一、一对多、多对一及多对多。与传统并行计算的“分而治之”不同，平行计算的理念是“扩而治之”，利用虚实互动的过程提出复杂问题的解决方案。某些意义下，平行的理念就是智能的“虚数”，引入平行可使智能从简单空间进入复杂空间，进一步使其从简单智能走向复杂智能，从而克服单凭人类智能难以克服的“认知鸿沟”或“建模鸿沟”的基本问题[4]。为此，笔者还引入社会物理信息系统（cyber-physical-social systems， CPSS）（或CSP（cyber- social-physical））的概念[5,6]，来明确人及社会因素等“软科学”知识在平行系统中的核心作用，针对社会复杂性和工程复杂性同时呈现的情况，构建知识自动化的基础设施，实现面向工程的新AI，即智能自动化（automation of intelligence）和相应的智能组织及智慧社会。

图1

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图1   平行系统的基本框架[3]


社会计算、计算社会系统、平行管理与平行控制、平行交通、平行社会及经济系统等是比较早应用平行理论进行研究的领域[7,8,9,10,11,12,13,14,15]。图2给出了平行控制的基本框架[9]，图3按系统的复杂性的程度给出平行控制与其他控制方法的不同与联系[16]。一般而言，当相对复杂性高但精确度低时，人们只能利用人工系统进行平行控制；当相对复杂性、精确度为中等时，可以采用软件定义的过程落实平行控制；当相对复杂性低而精确度高时，能够借助精准模型和数字孪生实施平行控制，并大量引用传统控制的方法和经验。参考文献[17-18]详细说明了数字孪生与平行系统的关系，本文将针对复杂性低、精确度高的情况讨论平行控制的具体方法，探索由平行控制方法将人工智能与智能控制深入融合的途径。

图2

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图2   平行控制的基本框架[9]


图3

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图3   控制方法与系统复杂性的不同与联系[16]


2 控制回顾：智能控制与平行控制

关于控制的原始思想与实践可以被追溯到人类发展历史的初期，因为利用自然工具和人类认知改变环境来达到目的是人之天性。从科技文献角度来说，业界公认的控制理论文献始于著名的物理学家麦克斯韦（Maxwell J C）[19]的论文“On govemors”，发于著名的数学家罗斯（Routh E J）和数学家赫尔维茨（Adolf Hurwitz）分别于1874年与1895年独立提出的控制稳定性判据（事实上，数学家Charles Sturm较早建立了相关的定理），起于20世纪20年代的PID控制，从此走上了从基于传递函数的框图表示方法到基于微分方程的状态分析方法的发展道路，以物理自动化或工业自动化为核心任务，并一直发展到今天[20,21]，这就是经典控制理论的简要发展历程。

图灵（Turing A）引入图灵机之后，引发了对利用自动机（automata）进行拟人思维的智能控制的研究，如早期关于有限状态自动机（finite state machines）、智能自动机（intelligent automata）和移动自动机（mobile automata）的工作[22,23]。美国华人学者傅京孙（Fu K S）是较早以科技文献形式提出“智能控制”的研究者[24]。后来其同事Saridis G N[25]在人工智能和控制系统之外，将信息论、分层递阶、运筹决策和系统工程等方法引入智能控制，使之成为一个独立的研究与应用领域。今天，从模糊逻辑、遗传演化到蚁群生物等各种智能控制算法层出不穷，并针对工业自动化和信息自动化形成一个崭新的控制及自动化分支[22,23]。

网络化和人工智能的普及与深入，推动了智能产业的兴起，导致了工程系统社会化、社会系统工程化、简单系统复杂化的新趋势。继续按照传统的思维发展控制理论与方法，已呈现出基于大数据而几乎无数据可依、面向复杂问题而简单的测试都无法实现、声称智能系统却对使用人员提出了非分的智力要求等一系列的新问题。平行智能、平行系统、平行控制正是为解决这些问题与矛盾而提出的，其核心是通过知识自动化，实现智能的自动化，使复杂系统简单化，最终实现人机融合的真正的智能控制[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]。

3 经典控制的重铸：由孪生到智能

假如人们有被控系统的高精度模型，即数字孪生，在经典控制中，其控制方法如下：

状态方程：

x˙=f(x,u)  (1)

控制方程：

u=h(x)    (2)

其中，x是状态向量，u是控制向量，f(·)和h(·)分别是状态函数和控制函数。为简化讨论，笔者忽略了时变、噪声和滞后等因素。

一般而言，式（1）和式（2）是由物理或逻辑建模而来的，反映了相应的物理定律或逻辑关系。关键的是，控制函数不可对时间求导，一个原因是物理规则不允许，另一个原因是系统实现不允许，因为这将导致噪声被放大和硬件变复杂等一系列的复杂工程问题。

平行控制的控制方法如下：

状态方程：

x˙=f(x,u)    (3)

控制方程：

u˙=h(x,u)    (4)

即将控制方程的左端改为控制向量对时间的导数。其中状态函数和控制函数与式（1）和式（2）的相应函数可以不完全一致。式（3）和式（4）的形式早在2005年关于平行控制的学术讨论中出现，但讨论者皆认为对控制向量求导既无物理意义，又无分析上的明显作用，因此没有进行进一步的研究工作。

2009年，笔者再次将这一形式的平行控制以框图（如图4所示）的形式呈现在中国科学院复杂系统与智能科学重点实验室的年度学术报告中，并于2016年以英文发表[26]。2019年，笔者与魏庆来等人在北京怀德海学院正式讨论基于式（3）和式（4）的平行控制问题（如图5所示），并将框图简化为如图6所示。初步分析结果令人振奋，平行控制可为控制理论的发展提供一个新的方向。

图4

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图4   基于CPSS的平行控制与管理的架构


图5

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图5   王飞跃等人研讨基于式（3）～（4）的平行控制问题（2019年12月拍摄于北京怀德海学院）


图6

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图6   基于ACP的平行感知的系统实现


平行控制式（3）和式（4）的意义如下。

• 使控制系统与被控系统在形式上对称，它们不再是一个代数方程、一个微分方程，而是两个对等的微分方程，从而使二者从形式到内容在数学上完全一致。这是实现拟人控制和傅京孙的以机器人实现智能控制设想的基础。

• 控制器不再是根据状态即时地决定控制量，而是根据状态决定控制的变化量，进而决定控制量本身。这为控制回溯历史、预测未来提供了数学基础，扩展了决定控制的信息空间。同时，这为以新的方式引入控制与被控角色的博弈对抗打下了基础，机器学习、人工智能等方法也更加有效地融入控制理论。

• 经典控制的式（1）和式（2）可被视为平行控制的特殊情况，对式（2）进行时间求导，并利用式（1），可以得到：

u˙=∂h∂x⋅x˙=∂h∂x⋅f(x,u)=h'(x,u)    (5)

因此，经典控制可被视为控制的变化率与状态的变化率成比例的一种特殊的平行控制。经典控制的各种问题及相应的研究结果，都可以在平行控制的新视角下重新进行分析。

• 平行控制的式（3）和式（4）可被重新写成一个方程：

z˙=G(z)    (6)

其中，z=[x⊤,u⊤]T，G(⋅)=[f(⋅)T,h(⋅)T]。这是一个简单的自洽的微分方程，可惜函数G(·)未知待求，否则许多关于自洽方程的分析结果可被直接利用。对于实验来说，这也为求解平行控制问题，特别是非线性平行控制问题提供了新的途径，是一个十分值得关注的方向。此外，这也为平行控制与基于核函数的神经网络方法建立了一种天然联系，人们可以利用最佳格点集和最小二乘方法，直接用神经网络求解非线性平行控制方程[27,28]。

• 平行控制为“边缘简单，云端复杂”的云控制提供了一条新的途径。简言之，式（3）和式（4）可以在云端实施，式（1）和式（2）可以在边缘设备上实现，而且式（1）和式（3）可以不完全一致，式（1）一般应为式（3）的简洁式或简化版，而式（4）的控制向量u可以作为式（2）的控制向量u的指令式或设定目标（set points）。这在一定程度上解除了对u之时间导数的物理意义与负面作用的顾虑，因为云计算可以是物理模型之外的计算，其本身并非必须具有物理规则的基础。

总之，在有数字孪生模型的情况下，通过引入控制向量的时间导数，平行控制能够使被控系统与控制引导在数学上对称，并能够更方便地引入对抗博弈、机器学习、人工智能等方法，构造一个由孪生而智能的新途径。

4 理论与应用案例

参考文献[29,30,31,32,33]给出了建立线性平行控制的基本理论构架和一些非线性平行控制的初步结果。对于线性问题来说，平行控制的基本方程为：

x˙=Ax+Bu

u˙=Cx+Du    (7)

其中，A、B、C、D是相应维数的系统矩阵。定义广义状态变量z=[x⊤,u⊤]T，可获得广义自治闭环系统：

z˙=[ABCD]z≜Gz    (8)

并设其特征的方程为：

p(λ)=|λI−G|    (9)

参考文献[29]给出了在可控与不可控情况下，根据希望的广义自治闭环系统的极点配置决定C和D的算法，该算法可被称为“平行极点配置定理”。参考文献[30]给出了离散后的相应结果，参考文献[31]建立了输出调节的线性平行控制结果。

线性平行控制极点配置：可控情况。算法如下[29]。

算法1 系统可控时的平行控制器设计算法。

初始化：

给定系统矩阵A、B以及期望特征多项式，m和n分别是矩阵B的行数和列数。

执行：

1：若m=1，则

① 寻找P，使得(A,B)可被转化为可控标准型；

② 定义矩阵Γ=[αn  αn−1  ⋯  α1]，其中α是矩阵A特征多项式的系数；

③ 进行非奇异变换，令C^=[−βn+m−βn+m−1   ⋯  −β2],D^=−β1，其中β是期望特征多项式的系数；

取 T3=I，则 矩 阵 C、D 可 以 由G=T1T2T3G^(T3)−1(T2)−1(T1) −1获得，其中T1~T3是坐标变换矩阵，使得矩阵G变换成参考文献[29]中所需的形式。

2：若m > 1，则

① 寻找F1和v1，使(A+BF1,Bv1)可控；

② 寻找P，使(A+BF1,Bv1)可被转化为可控标准型；

③ 定义向量ζ=[αn   αn−1  αn−2  ⋯  α1]、矩阵Γ=F1P+v1ζ、矩阵V=[v1   v2  ⋯  vm]；

④ 变换矩阵C^和D^，重新分割矩阵G^；

⑤ 重复步骤①至④m-2次，获得矩阵G^m−2；

⑥ 对于矩阵G^m−2，执行步骤①至③，进行非奇异变换，获得矩阵G^m−1；

⑦ 给出矩阵C^m−1和D^m−1，可得矩阵C、D。

3：返回：C、D。

线性平行控制极点配置：不可控情况。算法如下[29]。

算法2 系统不完全可控时的平行控制器设计算法。

初始化：

给定矩阵A、B，给定期望特征多项式。

执行：

1：进行非奇异变换。

2：若期望特征多项式不能被 |λI−A1*||整除，则无解，进行步骤8；否则，进行下一步。其中，A1*是系统(A,B) 不完全可控情况下，通过可控分解得到的。此时(A,B) 不可控子系统为(A1∗,0)。

3：定义新系统、平行控制器、闭环系统和特征多项式，对于新系统，M和N 分别是矩阵B的行数和列数。

4：若M=1，则

① 寻找M=1，使得(A,B) 可被转化为可控标准型，其中(A,B) 可控子系统为(A,B) ；

② 定义矩阵Γ˜=[α˜N  α˜N−1 ⋯  α˜1]，其中α˜是矩阵A特征多项式的系数；

③ 进行非奇异变换，令C^=[−β˜N+M−β˜N+M+1 ⋯−β˜2],D^=−β˜1 ，其中β˜是期望特征多项式的系数；

定 义 T3=I，则矩阵 C、D 可由G=T1T2T3G^(T3) −1(T2) −1(T1) −1获得，其中T1~T3是坐标变换矩阵，使得矩阵G变换成参考文献[29]中想要的形式。

5：若M=1，则

① 寻找F1和V 1，使(A+BF1,BV 1)可控；

② 寻找P，使(A+BF1,BV 1)可以被转变为可控标准型；

③ 定义向量ζ˜=[α˜N   α˜N−1   α˜N−2  ⋯  α˜1]、ζ˜=[α˜N   α˜N−1   α˜N−2  ⋯  α˜1]和矩阵V=[V 1    V 2    ⋯   Vm]，其中， α˜是A+BF1特征多项式的系数，V 2 ~V m是使得V非奇异的任意向量；

④ 变换矩阵C^、D^，重新分割矩阵G^；

⑤ 重复步骤①至④M−2次，获得矩阵G^M−2；

⑥ 对于矩阵G^M−2，执行步骤①至③，进行非奇异变换，获得矩阵G^M−1；

⑦ 给出矩阵C^M−1 1和D^M−1，可得矩阵C、D。

6：令C1*为合适维度矩阵，可获得矩阵C、D。

G=[QI]

G*=[Q−1I]

7：返回：C、D。

8：返回：“不存在平行控制器”。

举例如下。

例1：可控线性系统。

x˙=Ax+Bu   (10)

其中，

A=[−0.066 58000−3.6633.6630−0.6860−13.736−13.7360.6000]

B=[0013.7360] ⊤

如果希望的极点为[-1 -1 -2 -2 -3 -3]，算法1对应的C与D为：

C= [−3.752 3 3.830 0 −9.273 6 −8.515 2]

D= 8.465 5

即平行控制为：

u˙==[−3.752 3 3.830 0 −9.273 6 −8.515 2]x+ 8.465 5u

设初时状态x0=[0 0.1 0 0]T，u0= 0.1，图7和图8分别给出了相应的系统状态和控制变量的轨迹。

图7

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图7   例1的系统状态的轨迹


图8

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图8   例1的控制变量的轨迹


例2：不可控线性系统。

x˙=Ax+Bu   (11)

其中，

A=[012010111],B=[010]

其不可控极点为-1，如果希望的极点为[-1-1 -2 -2]，则算法2对应的C与D为：

C=[c −30 −c −48]，D=−8

其中c为常数。设初时状态x0=[0.5 1 1]T，u0=0.1，c=-3，图9和图10分别给出了相应的系统状态和控制变量的轨迹。

图9

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图9   例2的系统状态的轨迹


图10

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图10   例2的控制变量的轨迹


有关非线性系统的一些结果可阅读参考文献[32-33]。

5 平行传感：由被动到主动

式（1）～（4）仅考虑了全部状态向量直接可观的情况。许多时候，人们必须处理一些状态不能被直接测度的问题。此时，人们必须考虑输出的传感器方程，而式（1）和式（2）相应地变成如下形式。

（1）经典控制

状态方程：

x0=[0.5 1 1]T

传感器方程：

y=g(x,u)    (13)

控制方程：

u=h(y)    (14)

（2）平行控制

状态方程：

x˙=f(x,u,y)    (15)

传感器方程：

y˙=g(x,u,y)     (16)

控制方程：

u˙=h(u,y)    (17)

其中，y是输出向量或者传感向量。

由于关于输出向量的时间导数的式（16）的引入，传感器也从被动的传感变为主动的传感，就像平行控制的式（3）和式（4）赋予控制器以主动地位一样。因此，在数字孪生可能的情况下，式（15）～（17）不但是平行控制的方程，也是平行传感的方程。笔者在第2节关于平行控制的讨论同样也适用于平行传感。平行传感的其他方法可阅读参考文献[34-35]。

6 结束语

图6给出了基于数字孪生平行控制的最简化的形式，而平行控制的式（3）和式（4）表面上仅在经典控制的式（1）和式（2）上加了控制向量对时间求导的一个小点，但为控制方法的新发展开拓了一个与传统控制方法十分不同的方向，特别适用于目前边际执行与云端计算的控制架构。因此，平行控制有广泛的研究和应用前景，本文所述的结果只是一些初步的总结。

平行控制的方法与云计算、边缘设备、工业互联网、智联网、数字孪生等技术密切相关，可成为推动这些智能新技术发展与应用的一条新路径，值得进一步深入研究与普及。

The authors have declared that no competing interests exist.
作者已声明无竞争性利益关系。

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