本文采用的是SCMA上行链路模型，即共享K个正交资源块的J个用户与同一基站通信。过载因子定义为 $\lambda \text{=}\frac{J}{K}$（J >K）。当J =6、K=4时， SCMA上行链路通信系统简化模型如图1所示。

SCMA编码过程定义为一种由用户 j的比特数据$b_j={\left[b_{1,j},b_{2,j},\cdots ,b_{\text{lb}M,j}\right]}^T$到用户 j的对应码本${\mathcal{X}}_j$中预定义的 K 维复数码字 $x_j$ 的映射，即$x_j=f(b_j)$ ，$f:{\mathbb{B}}^{\text{lb}M}\to {\mathcal{X}}_j$，其中，${\mathcal{X}}_j\subset {ℂ}^K$，码本的基数$\left|{\mathcal{X}}_j\right|=M,\forall j$ 。K维码字$x_j$是包含N<K个非0元的稀疏向量。

在SCMA系统中，J个用户对K个资源块的占用情况用因子图矩阵$F$表示。因子图矩阵$F\in {\mathbb{B}}^{K\times J}$,有K行和J列，分别对应K个正交资源块和J个用户，且仅包含0和1这2种元素，其中，$F_{k,j}$表示因子图矩阵$F$第k行、第 j列的元素。当且仅当$F_{k,j}=1$时，用户j占用资源块k并在资源块k上传数值为x_k,j的信号；当$F_{k,j}=0$时，用户 j不占用资源块k且x_k,j =0。其中，x_k,j为用户 j的码字$x_j$的第k个元素。一种J =6、K=4、N=2时的因子图矩阵$F$如图2所示。

如图2所示，由矩阵$F$的第一列可知，用户1仅在资源块2及资源块4上传输信号。由矩阵$F$的第一行可知，资源块1上的传输信号仅来自用户2、用户3和用户5。特别地，如果每个用户占用的资源块数相同且每个资源块承载的用户数也相同，分别记为d_v和d _f，则称这样的因子图矩阵$F$是正规的。

在基站处，经时间同步后的接收信号是K个正交资源块上所有用户信号的叠加，可以表示为

其中，$x_j={\left[x_{1,j},x_{2,j},\cdots ,x_{K,j}\right]}^T$是用户j的发送码字，$h_j={\left[h_{1,j},h_{2,j},\cdots ,h_{K,j}\right]}^{\text{T}}$是用户j的信道向量，$n$是高斯白噪声且$n\sim \text{N}(0,{\sigma }_n^2{I}_K)$ ，${\sigma }_n^2$是噪声的平均功率。

给定接收信号 $y$，且假设基站已知信道矩阵$H=\left[h_1,h_2,\cdots ,h_J\right]$和各用户的码本，则最终可在接收端通过消息传递算法获得对各用户信息的一种估计。

SCMA码本设计的核心内容是得到用户 j对应的码本$B_j\in {ℂ}^{K\times M},j=1,2,\cdots ,J$，其中，码本$B_j$包含M 个 K 维码字。定义c_j 为 N 维复数星座集${\mathcal{C}}_j\subset {ℂ}^N$内的星座点，将用户 j的数据比特$b_j$映射为星座点$c_j$，即$c_j=g_j(b_j),g_j:{\mathbb{B}}^{\text{lb}M}\to {\mathcal{C}}_j$ ；通过映射矩阵$V_j$，将N维复数星座点$c_j$映射为K维稀疏码字$x_j$，就实现了用户 j的数据比特$b_j$到用户码字$x_j$的映射，即$x_j=f(b_j)$。因此，SCMA编码过程可另写为 $f:\equiv V_j{g}_j$ ^[7]。映射矩阵$V_j\in {\mathbb{B}}^{K\times N}$与因子图矩阵$F$的关系为 $f_j=\text{diag}(V_j{V}_j{}^{\text{T}})$ ，其中，$f_j$是因子图矩阵F的第 j列。

给定用户 j对应的N维复数星座集${\mathcal{C}}_j$，就能得到用户 j的码本$B_j$。随着用户数J的增加，获得J个不同的N维复数星座集将有极高的复杂度。为了简化设计，可仅选取一个N维复数星座集$\mathcal{C}$，然后对其加以针对用户 j的星座运算Δ_j，就能得到用户j对应的N维复数星座集${\mathcal{C}}_j$。本文中，星座集C称为母星座图，而星座集${\mathcal{C}}_j$称为用户星座图。这种由多维母星座图得到各用户星座图，进而得到各用户码本的方法被称为基于多维母星座图的码本设计方法。以图2所示的因子图矩阵$F$为例，图3展示了按照基于多维母星座图的码本设计方法得到用户2、用户3和用户5码本的全过程。

图3中，码字个数M =4，占用每个资源块的用户数d _f =3，复平面D_i(i=1,2)表示多维复数星座图的第i个维度。如图3(a)所示，二维复数母星座图$\mathcal{C}$经过星座运算Δ_j(j=2,3,5)（Δ₂和Δ₅为相位旋转，Δ₃为相位旋转和维度置换）得到用户星座图${\mathcal{C}}_2$、${\mathcal{C}}_3$和${\mathcal{C}}_5$；用户星座图${\mathcal{C}}_2$、${\mathcal{C}}_3$和${\mathcal{C}}_5$经各自映射矩阵$V_j\in {\mathbb{B}}^{4\times 2}(j=2,3,5)$(j=2,3,5)映射为各包含 4 个码字的用户码本$B_2$、$B_3$和$B_5$，如图3(b)所示。

如图3所示，基于多维母星座图的码本设计实际上就是N维母星座图$\mathcal{C}$ 各维度上的坐标向量${\mathcal{C}}^{(i)}(i=1,2,\cdots ,N)$进行相位旋转和重新分配的过程。例如，码本$B_2$的第一行和第三行就是坐标向量${\mathcal{C}}^{(1)}$和${\mathcal{C}}^{(2)}$经过相位旋转的结果。结合因子图矩阵$F$，用户2、用户3和用户5都占用资源块1，因此经相位旋转的坐标向量${\mathcal{C}}^{(i)}(i=1,2)$将叠加在资源块 1上，称经过相位旋转的坐标向量${\mathcal{C}}^{(i)}$所表示的点集为子星座图，而称这些子星座图的叠加结果为资源块星座图。如图3(c)所示，这是资源块1上资源块星座图的形状。

事实上，由图3(b)和图3(c)可知，当给定每个资源块星座图上的子星座图时，结合一定的映射关系，同样也能得到用户码本。这就是本文提出的基于资源块星座图的码本设计方法的构思。基于资源块星座图的码本设计方法有两点好处。1)在基于多维母星座图的码本设计方法中，多维母星座图的设计可以归结为一种非凸的带有二次约束的二次规划问题，而这类问题通常较难求解^[16]。当母星座图的维数N增大时，多维母星座图的设计复杂度将进一步增大。资源块星座图是一种二维星座图，其维度不随维数N变化，因此它的设计难度较前者更低，而且维数N越大设计难度差异越显著。2)为使接收端MPA算法有好的译码效果，就要求各用户在同一资源块上的发送信号尽可能不同。这一要求等价于资源块星座图星座点之间要有大的最小欧氏距离。如果直接设计资源块星座图，则很容易实现这一目标。如果分别设计多维母星座图和星座运算，则难以保证资源块上星座点之间的欧氏距离。因此，基于资源块星座图的码本设计方法更具优势。

由2.2节可知，如需MPA算法有好的译码效果，则要求资源块星座图星座点之间有大的最小欧氏距离。为了简化设计，本文的子星座图采用星座点对称分布的多进制脉冲幅度调制（M-PAM,multiple pulse amplitude modulation）星座图。因为资源块星座图是不同子星座图的叠加，而本文中子星座图采用固定形状的M-PAM星座图，所以资源块星座图星座点之间的欧氏距离可以转化为不同子星座图星座点之间的欧氏距离。

以图3(c)所示的资源块星座图为例。因为所有子星座图的中心点都在坐标原点，所以欧式距离最小的星座点位于星座图最内侧，比如星座点a、b、c。对于对应位置星座点只有相位差异的子星座图，比如子星座图1和2，当它们之间的相位角最大时，星座点a和b有最大的欧氏距离；对于对应位置星座点在相位和幅值上都有差异的子星座图，比如子星座图2和3，需要合理安排如星座点b和c等最内侧星座点的位置来最大化它们之间的欧氏距离。其中，对应位置是指距离坐标原点先后次序相同的位置。

由于每个子星座图都包含M个星座点，而每个资源块星座图都是占用该资源块的d_f 个用户对应的子星座图的叠加，因此每个资源块星座图都包含d_f ×M 个星座点。当资源块数K较大时，分别设计K个各包含d_f ×M 个星座点的资源块星座图将具有较高的复杂度。为了降低设计难度，本文中所有资源块上的资源块星座图都相同，即仅设计一个资源块星座图。综上，资源块星座图的设计需要满足2个条件：1)最大化不同子星座图上最内侧星座点之间的欧氏距离；2)包含d_f 个各有M个星座点的子星座图。

为了比较不同星座图的性能，定义星座图的归一化最小欧氏距离$\delta =\frac{d_{\min }}{\sqrt{E_{\text{avg}}}}$ ，归一化最小欧氏距离δ越大，代表星座图的性能越好。d_min是星座图上星座点间的最小欧氏距离，E_avg是星座图各星座点的平均能量，可分别表示为

其中，$c_i$、$c_j$是规模为M的星座图上星座点的坐标向量。

定义星座矩阵$S=\left[s_1,s_2,\cdots ,s_{d_f}\right]\in {ℂ}^{M\times d_f}$对应资源块星座图，星座向量$s_l\in {ℂ}^{M\times 1}(l=1,2,\cdots ,d_f)$对应子星座图，星座矩阵（向量）中的元素对应星座图上星座点在复平面上的值。按照前述资源块星座图的设计条件，资源块星座图对应的星座矩阵$S$的设计步骤如下。

1) 当d_f为奇数时，令α=2β=2d_f

步骤1 根据子星座图星座点个数M，得到星座向量$s_j$为

步骤2 构建相位旋转矩阵$U\in {ℂ}^{\beta \times \beta }$ 为

其中，i为虚数单位。

步骤 3 将星座向量$s_1$分别旋转${\theta }_2,\cdots ,{\theta }_{d_f}$ 得到$s_2,\cdots s_{d_f}$，从而得到 d_f 为奇数时的星座矩阵$S=\left[s_1,s_2,\cdots ,s_{d_f}\right]$，其中，$S=\left[r_1,\cdots ,r_i,\cdots ,r_{d_f}\right]U$，对于∀i，$r_i=s_1$。此时，资源块星座图的归一化最小欧氏距离为

2) 当d_f为偶数时，令α=2β=d_f

步骤1 根据子星座图星座点个数M，得到星座向量$s_1$和$s_2$分别为

步骤2 构建相位旋转矩阵$U,U^{\prime }\in {ℂ}^{\beta \times \beta }$为

步骤 3 将星座向量$s_l$按照下标分为两组：奇数组记为矩阵$Z_1=\left[s_1,s_3,\cdots ,s_{d_f-1}\right]\in {ℂ}^{M\times \frac{d_f}{2}}$，偶数组记为矩阵$Z_2=\left[s_2,s_4,\cdots ,s_{d_f}\right]\in {ℂ}^{M\times \frac{d_f}{2}}$。将星座向量$s_1$分别旋转${\theta }_2,\cdots ,{\theta }_{\frac{d_f}{2}}$f得到$s_3,\cdots ,s_{d_f-1}$，从而得到$Z_1$，可表示为$Z_1=\left[r_1,\cdots ,r_i,\cdots ,r_{\frac{d_f}{2}}\right]U$，其中，对于∀i， $r_i=s_1$；将星座向量 $s_2$分别旋转 ${{\theta }^{\prime }}_2,\cdots ,{{\theta }^{\prime }}_{\frac{d_f}{2}}$得到$s_4,\cdots ,s_{d_f}$，从而得到 $Z_2$，可表示为$Z_2=\left[{r^{\prime }}_1,\cdots ,{r^{\prime }}_i,\cdots ,{r^{\prime }}_{\frac{d_f}{2}}\right]U^{\prime }$ ，其中，对于∀i，${r^{\prime }}_i=s_2$。

步骤 4 结合$Z_1$和$Z_2$，便得到d_f为偶数时的星座矩阵$S=\left[s_1,s_2,\cdots ,s_{d_f}\right]$。此时，资源块星座图的归一化最小欧氏距离为

其中，d_f为偶数时，步骤1中R′按以下规则确定：取$Z_1$中靠近坐标原点且相邻的两星座点a和b；另取$Z_2$中相位在星座点a和b之间且靠近坐标原点的星座点c；当星座点a、b、c三者等距时，星座点c到坐标原点的距离就是R′。R′取值原理如图4 所示，虚线代表距离相等。这样定义R′是为了最大化不同子星座图上最内侧星座点之间的欧氏距离。

按照上述资源块星座图设计步骤，在d_f =3、M =4和d_f =4、M =4时得到的资源块星座图分别如图5(a)和图5(b)所示。从图5(a)和图5(b)可以看到，按本文方法得到的资源块星座图在子星座图形状确定的前提下，最大化了不同子星座图上最内侧星座点之间的欧氏距离，进而最大化了资源块星座图星座点之间的最小欧氏距离。

生成矩阵$G\in {ℂ}^{K\times JM}$是一种体现资源块星座图上d_f 个子星座图的星座向量$s_l(l=1,2,\cdots ,d_f)$到用户码本映射关系的矩阵。在基于多维母星座图的码本设计方法中，结合因子图矩阵$F$，将各用户星座图上的星座点映射为稀疏向量就得到了用户码字。受这一构思启发，依靠因子图矩阵$F$，同样可以完成子星座图的星座向量s_l到用户码本的映射，即得到生成矩阵$G$。生成矩阵$G$的构建规则为

其中，${\left(G_{k,(j-1)M+1},\cdots ,G_{k,jM}\right)}^T$是生成矩阵$G$第k行、第(j-1)M+1列到第 jM列的M个元素，$F_{k,j}$是因子图矩阵$F$第k行、第 j列的元素。式(9)的含义为：对应于因子图矩阵$F$第k行、第 j列为1的位置，将子星座图的星座向量$s_l(l=1,2,\cdots ,d_f)$按照一定的规则放置在生成矩阵$G$的第k行、第(j-1)M+1列到第 jM列中，而其余位置以0填充便得到了生成矩阵$G$。子星座图的星座向量$s_l$在生成矩阵$G$中的放置规则，可以采用拉丁矩形^[4]顺序，简称为拉丁顺序。对于一个给定的正规因子图矩阵结构，拉丁顺序因其最大化最小编码距离属性而优于随机顺序^[4]。结合拉丁顺序，子星座图的星座向量$s_l$在生成矩阵$G$中的放置规则描述如下。

1) 在生成矩阵$G$中，星座向量所在行不存在相同的星座向量$s_l$。

2) 在生成矩阵$G$中，星座向量所在M列不存在相同的星座向量$s_l$。

结合图2所示的因子图矩阵$F$，一种满足上述规则的生成矩阵$G$可以表示为

其中，$0\in {ℂ}^{M\times 1}$为全0列向量。

由2.2节可知，SCMA码本设计的目标是得到J个用户对应的分别包含M个K维码字的码本。令生成矩阵$G=\left[H_1,H_2,\cdots ,H_J\right]\in {ℂ}^{K\times JM}$，其中，对于∀j ,$H_j\in {ℂ}^{K\times M}$，则矩阵 $H_j$ 与用户 j 的码本$B_j\in {ℂ}^{K\times M}$在结构上完全相同。从直观上看，可以将矩阵$H_j$作为用户j的码本$B_j$。文献[10]提到，通过重排码本非0偶数维度（即除去全0维度后仍为偶数的维度）元素的顺序，可以增大码字间的最小欧氏距离，进而使用户码本具有更好的性能。因此，在本文的设计中，将经过重排之后的矩阵$H_j$作为用户j的码本$B_j$。以式(10)所示生成矩阵$G$ 的$H_1={\left[\begin{array}{cccc}0& s_3& 0& s_1\end{array}\right]}^{\text{T}}$为例，重排过程可以表示为

其中，$s_1\in {ℂ}^{M\times 1}$为$H_j$除去全 0 维度后的第二维度，${s^{\prime }}_1\in {ℂ}^{M\times 1}$为$s_1$经重排后的结果。$v_i\text{=}[s_{\frac{(i-1)M}{4}+1,1},\cdots ,s_{\frac{iM}{4},1}],$，s_n,1为星座向量$s_1$的第n个元素。重排的过程就是按式(11)所示规则将$s_l$的元素等分为4组，经取负和重新排序后放入${s^{\prime }}_l$中。因此，生成矩阵$G$中的矩阵$H_1,H_2,\cdots ,H_J$经过重排操作后就能得到各用户的码本$B_1,B_2,\cdots ,B_J$。经过重排操作后，式(10)所示生成矩阵$G$可表示为

本节将给出基于资源块星座图的码本设计流程和生成的用户码本的具体例子。码本设计参数为J =6、K=4、d_f=3、M =4。因子图矩阵$F$如图2所示。首先，根据d_f=3、M =4得到资源块星座图和子星座图，其中，子星座图对应的星座向量为$s_1,s_2,s_3$，如图5(a)所示；然后，将星座向量$s_1,s_2,s_3$按照拉丁顺序映射到因子图矩阵$F$中，得到生成矩阵$G$，如式(10)所示；最后，对生成矩阵$G$进行重排操作，得到用户码本$B_1,B_2,\cdots ,B_6$，如式(12)所示。这里，给出用户1码本$B_1$的具体形式，如式(13)所示，同理可得其他用户码本。

本文方案与方案A的仿真参数如表1所示。

本文方案与方案A的BER性能比较如图6所示。随着信噪比的增大，本文方案的BER性能较方案A提升的程度不断增大。当BER=10^-4时，本文方案较方案A的信噪比可改善2.1 dB。经计算，本文方案的δ为0.447 2，而方案A的δ为0.240 0。因此，BER性能的改善来自本文方案拥有大的资源块星座图星座点之间的最小欧氏距离。

本节将呈现不同过载条件下，各资源块上承载的用户数d_f保持不变和增大时，本文方案与方案B的 BER 性能比较。当仿真参数如表2 所示时，本文方案与方案B的BER性能比较如图7所示， K=6、J=9 时的因子图矩阵如图8 所示。当仿真参数如表3 所示时，本文方案与方案 B 的 BER性能比较如图9 所示，K=6、J=8 时的因子图矩阵如图10所示。

由图7可知，当BER=10^-4时，对于K=4,J =6和K=6,J =9时的情况，较之方案B，本文方案信噪比可分别改善1.6 dB和1.4 dB。经计算，2种过载条件下，本文方案的δ都为0.447 2，而方案B的δ都为0.058 5，提升了0.388 7。因此，2种过载条件下本文方案的BER性能都较方案B要好。从图7还能观察到，K=6,J =9过载条件下 2 种方案的BER性能较K=4,J =6过载条件下要好。由于因子图矩阵表明了各用户对资源块的占用情况，当增大总用户数J和资源块数K而保持d_f不变时，因子图矩阵更加稀疏，降低了用户之间的相互干扰，进而提升了SCMA系统的性能。

由图9可知，当BER=10^-4时，对于K=4、J =6和K=6、J =8时的情况，较之方案B，本文方案信噪比可分别改善1.6 dB和2.1 dB。经计算，K=4、J =6时，本文方案和方案B 的δ分别为0.447 2 和0.058 5；K=6、J =8时，本文方案和方案B的δ分别为0.411 2和0.116 8。由于拥有大的资源块星座图最小欧氏距离，本文方案在2种过载条件下BER性能都较方案B要好。此外，较之K=4、J =6时的情况，本文方案在K=6、J=8时性能下降的程度较方案B要小。这是因为此时本文方案不但拥有大的资源块星座图最小欧氏距离，而且子星座图包含对应位置上相位和幅值都有差异的星座点，增大了用户发送信号之间的差异性，使MPA算法具有更好的译码效果。