基于积分反步法的四旋翼飞行器控制设计

doi:10.11959/j.issn.2096-6652.201924

基于积分反步法的四旋翼飞行器控制设计

郭妍^,, 吴美平, 唐康华, 王雪莹

国防科技大学智能科学学院，湖南长沙 417300

Integral back-stepping algorithm for designing the quadrotor aircraft controller

GUO Yan^,, WU Meiping, TANG Kanghua, WANG Xueying

College of Intelligence Science and Technology,National University of Defense Technology,Changsha 417300,China

通讯作者: 郭妍，guoyan010417@126.com

修回日期: 2019-06-14 网络出版日期: 2019-06-20

基金资助:

湖南省科技创新平台与人才计划基金资助项目. 2017RS3045
国家重点研发计划基金资助项目. 2017YFC0601701

Revised: 2019-06-14 Online: 2019-06-20

Fund supported:

Hunan Science and Technology Innovation Platform and Talent Plan. 2017RS3045
National Key R＆D Program of China. 2017YFC0601701

作者简介 About authors

郭妍（1990-），女，湖北咸宁人，国防科技大学智能科学学院博士生，主要研究方向为无人机导航与控制等 , E-mail：guoyan010417@126.com

吴美平（1971-），男，福建南平人，国防科技大学智能科学学院博士生导师，主要研究方向为捷联式重力仪技术、无人机导航与控制等。

唐康华（1978-），男，湖南邵阳人，国防科技大学智能科学学院副研究员，主要研究方向为无人机飞行控制技术等。

王雪莹（1993-），女，河南周口人，国防科技大学智能科学学院博士生，主要研究方向为导航技术。

摘要

针对目前利用反步法设计控制律模型复杂且工程难以实现的问题，提出一种基于积分反步法的四旋翼飞行器控制律设计方法。该方法利用基于李雅普诺夫稳定性理论的反步法控制技术，实现了飞行器位置和姿态的有效跟踪控制，保证了四旋翼飞行控制器的稳定性；进一步分析飞行器模型特性，提出在对姿态控制的反步法设计中加入积分项，并通过设置适当的积分项常数来简化控制律模型，增强控制算法的实用性。仿真实验结果表明，该控制器能够无误差地实现姿态跟踪、定点到达和轨迹跟踪。

关键词： 欠驱动四旋翼飞行器 ; 李雅普诺夫稳定性 ; 积分项 ; 反步法

Abstract

In view of the problem that the back-stepping algorithm control model is complex and physically difficult to realize,a method of integral back-stepping algorithm for the under-actuated quadrotor aircraft was proposed in this paper.The back-stepping technique based on the Lyapunov stability theory was used to realize the effective tracking control of position and attitude,and ensure the stability of the quadrotor aircraft controller.In order to simplify the controller model,it is proposed to add the integral term in the process of the back-stepping attitude controller design according to the characteristics of the aircraft model,and set the appropriate integral term constant to reduce the burden of the controller and to enhance the practicability of the control algorithm.The controller can realize the stabilization of each attitude,the fixed point,the trajectory track of the position and yaw without error.

Keywords： the under-actuated quadrotor aircraft ; Lyapunov stability ; the integral term ; the back-stepping algorithm

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本文引用格式

郭妍, 吴美平, 唐康华, 王雪莹. 基于积分反步法的四旋翼飞行器控制设计. 智能科学与技术学报[J], 2019, 1(2): 133-139 doi:10.11959/j.issn.2096-6652.201924

GUO Yan. Integral back-stepping algorithm for designing the quadrotor aircraft controller. Chinese Journal of Intelligent Science and Technology[J], 2019, 1(2): 133-139 doi:10.11959/j.issn.2096-6652.201924

1 引言

四旋翼飞行器通过电机带动螺旋桨旋转，能够完成垂直起降、定点悬停等行为动作，且其操作简易，因此备受青睐^[1,2,3,4]。但是，四旋翼飞行器的强非线性、强耦合性和欠驱动性，使得其控制方法偏难、控制模型复杂，因此一直是国内外学者研究的重点和难点^[5]。

传统的PID（比例（proportion）、积分（integral）、微分（differential））控制算法原理简单，但是控制参数很难随着环境的变化进行自我调节^[6,7,8,9,10]。文献[11]提出利用神经网络（neural networks）的自学习能力对PID控制参数进行实时优化，但是该方法的实时性较差，这是因为控制参数的自学习过程需要时间。文献[12]在文献[11]的基础上，加入了自适应环节来提高系统的收敛速度，解决了实时性差的问题。但是，加入神经网络辅助的PID控制算法复杂度较高，在工程上难以实现。

反步法在四旋翼飞行器系统控制设计中越来越多地受到重视，但是存在虚拟控制量表达形式复杂，以及控制算法设计复杂和物理实现困难的问题^{[13,14,15,16]}。本文提出了一种基于积分反步法（integral back- stepping algorithm）的四旋翼飞行器控制律设计方法。该方法先对四旋翼飞行器进行数学建模，并利用基于李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论的反步法实现了飞行器位置和姿态的有效跟踪控制，同时在对姿态控制的反步法设计中加入了积分项，并通过设置适当的积分项常数来简化控制器模型。仿真实验验证，该控制器能够无误差地实现姿态跟踪、定点到达和轨迹跟踪。

2 四旋翼飞行器模型的简化

四旋翼飞行器的非线性数学模型可以简化为

{\begin{matrix} m \ddot{x} = (\cos ϕ \sin θ \cos ψ + \sin ϕ \sin ψ) u_{1} \\ m \ddot{y} = (\cos ϕ \sin θ \sin ψ - \sin ϕ \cos ψ) u_{1} \\ m \ddot{z} = (\cos ϕ \cos θ) u_{1} - m g \\ J_{x} \ddot{ϕ} = l u_{2} + \dot{θ} \dot{ψ} (J_{y} - J_{z}) \\ J_{y} \ddot{θ} = l u_{3} + \dot{ϕ} \dot{ψ} (J_{z} - J_{x}) \\ J_{z} \ddot{ψ} = l u_{4} + \dot{ϕ} \dot{θ} (J_{x} - J_{y}) \end{matrix} (1)

其中，(x,y,z)和(φ,θ,ψ)分别为机体的位置坐标和姿态信息，m为机体的质量，l 为桨叶中心到机体中心的距离，J _x、J_y和J _z分别为机体围绕x、y、z轴旋转的转动惯量，u_i(i=1,2,3,4)为模型控制输入。

令

{\begin{matrix} x_{1} = ϕ \\ x_{2} = \dot{ϕ} = {\dot{x}}_{1} \\ x_{3} = θ \\ x_{4} = \dot{θ} = {\dot{x}}_{3} \\ x_{5} = ψ \\ x_{6} = \dot{ψ} = {\dot{x}}_{5} \\ x_{7} = z \\ x_{8} = \dot{z} = {\dot{x}}_{7} \\ x_{9} = x \\ x_{10} = \dot{x} = {\dot{x}}_{9} \\ x_{11} = y \\ x_{12} = \dot{y} = {\dot{x}}_{11} \end{matrix} (2)

则可将式（1）拆分成针对姿态控制的转动子系统S₁和针对位置控制的平动子系统S₂，即

S_{1} : {\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} = x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} = x_{4} x_{6} a_{1} + b_{1} u_{2} \\ {\dot{x}}_{3} = x_{4} \\ {\dot{x}}_{4} = x_{2} x_{6} a_{2} + b_{2} u_{3} \\ {\dot{x}}_{5} = x_{6} \\ {\dot{x}}_{6} = x_{2} x_{4} a_{3} + b_{3} u_{4} \end{matrix} (3)

S_{2} : {\begin{matrix} {\dot{x}}_{7} = x_{8} \\ {\dot{x}}_{8} = - g + \cos x_{1} \cos x_{3} u_{1} / m \\ {\dot{x}}_{9} = x_{10} \\ {\dot{x}}_{10} = u_{x} u_{1} / m \\ {\dot{x}}_{11} = x_{12} \\ {\dot{x}}_{12} = u_{y} u_{1} / m \end{matrix} (4)

其中， $a_{1} = \frac{J_{y} - J_{z}}{J_{x}}$ ， $a_{2} = \frac{J_{z} - J_{x}}{J_{y}}$ ， $a_{3} = \frac{J_{x} - J_{y}}{J_{z}}$ ， b₁=l/J _x，b₂ =l/J _y，b₃=l/J _z，u_x=cos x₁ sin x₃ cos x ₅+sin x₁ sin x₅，u_y=cos x₁ sin x₃ sin x₅-sin x₁ cos x₅。

3 基于积分反步法的控制律设计

由式（1）可知，四旋翼飞行器控制研究问题是一个欠驱动控制问题，下面将对其进行具体分析。

3.1 四旋翼飞行器的姿态控制

从式（3）可以看出，四旋翼飞行器的姿态φ、θ和ψ可分别由u_i(i=1,2,3)来控制。

（1）横滚角的控制

首先定义横滚角跟踪误差为

e_{ϕ} = ϕ_{d} - ϕ = x_{1 d} - x_{1} (5)

其中， $ϕ_{d} = x_{1 d}$ 为期望的横滚角轨迹。

选择Lyapunov函数V₁为

V_{1} = \frac{1}{2} e_{ϕ}^{2} + \frac{1}{2} k_{ϕ} Γ_{ϕ}^{2} (6)

其中， $Γ_{ϕ}^{} = \int e_{ϕ} d t$ 为横滚角的积分项。

计算式（6）的导数为

{\dot{V}}_{1} = e_{ϕ}^{} {\dot{e}}_{ϕ}^{} + k_{ϕ} Γ_{ϕ}^{} {\dot{Γ}}_{ϕ}^{}

= e_{ϕ}^{} ({\dot{x}}_{1 d} - {\dot{x}}_{1}) + k_{ϕ} Γ_{ϕ}^{} e_{ϕ}^{} (7)

将 ${\dot{x}}_{1}$ 当作虚拟控制量，则当期望的虚拟控制 ${({\dot{x}}_{1})}_{d}$ 为

{({\dot{x}}_{1})}_{d} = c_{1} e_{ϕ} + k_{ϕ} Γ_{ϕ} + {\dot{x}}_{1 d} (8)

可使得 ${\dot{V}}_{1} = - c_{1} e_{ϕ}^{2} \leq 0$ ，其中c₁为正常数。

通过式（8）可得虚拟控制 ${\dot{x}}_{1}$ 与期望的虚拟控制 ${({\dot{x}}_{1})}_{d}$ 的误差为

e_{ϕ 2} = {({\dot{x}}_{1})}_{d} - {\dot{x}}_{1} = c_{1} e_{ϕ} + k_{ϕ} Γ_{ϕ} + {\dot{x}}_{1 d} - {\dot{x}}_{1} (9)

对上式进行求导运算，即

{\dot{e}}_{ϕ 2} = c_{1} {\dot{e}}_{ϕ} + k_{ϕ} e_{ϕ} + {\ddot{x}}_{1 d} - {\dot{x}}_{2} =

c_{1} (- c_{1} e_{ϕ} - k_{ϕ} Γ_{ϕ} + e_{ϕ 2}) + k_{ϕ} e_{ϕ} + {\ddot{x}}_{1 d} - x_{4} x_{6} a_{1} - b_{1} u_{2} (10)

选择关于 $e_{ϕ}$ 、 $Γ_{ϕ}^{}$ 和 $e_{ϕ 2}$ 的李雅普诺夫函数V₂为

V_{2} = \frac{1}{2} e_{ϕ}^{2} + \frac{1}{2} k_{ϕ} Γ_{ϕ}^{2} + \frac{1}{2} e_{ϕ 2}^{2} (11)

它的导数形式为

{\dot{V}}_{2} = e_{ϕ}^{} {\dot{e}}_{ϕ}^{} + k_{ϕ} Γ_{ϕ}^{} e_{ϕ}^{} + e_{ϕ 2}^{} {\dot{e}}_{ϕ 2}^{}

= k_{ϕ} Γ_{ϕ}^{} e_{ϕ}^{} + e_{ϕ}^{} (- c_{1} e_{ϕ} - k_{ϕ} Γ_{ϕ} + e_{ϕ 2}) + e_{ϕ 2}^{} {\dot{e}}_{ϕ 2}^{}

= e_{ϕ}^{} (- c_{1} e_{ϕ} + e_{ϕ 2}) + e_{ϕ 2}^{} {\dot{e}}_{ϕ 2}^{} (12)

假定期望的 ${\dot{e}}_{ϕ 2}$ 有如下形式：

{\dot{e}}_{ϕ 2}^{} = - c_{2} e_{ϕ 2}^{} - e_{ϕ}^{} (13)

可使得 ${\dot{V}}_{2} = - c_{1} e_{ϕ}^{2} - c_{2} e_{ϕ 2}^{2} \leq 0$ ，其中c₂为正常数。

此时，通过比较式（10）和式（13）可得横滚转矩输入控制量u₂为

u_{2} = \frac{1}{b_{1}} [(- c_{1}^{2} + k_{ϕ} + 1) e_{ϕ} + (c_{1} + c_{2}) e_{ϕ 2}^{}

- c_{1} k_{ϕ} Γ_{ϕ} + {\ddot{x}}_{1 d} - x_{4} x_{6} a_{1}] (14)

当积分项参数 $k_{ϕ} = c_{1}^{2} - 1 \geq 0$ 时，控制量u₂可简化为

u_{2} = \frac{1}{b_{1}} [(c_{1} + c_{2}) e_{ϕ 2}^{} - c_{1} k_{ϕ} Γ_{ϕ} + {\ddot{x}}_{1 d} - x_{4} x_{6} a_{1}] (15)

（2）俯仰角的控制

俯仰角θ的控制机理与横滚角φ相似，首先定义俯仰角跟踪误差角为

e_{θ} = θ_{d} - θ = x_{3 d} - x_{3} (16)

其中，x_3d为期望的俯仰角轨迹。

由上述方法可得俯仰转矩输入量u₃为

u_{3} = \frac{1}{b_{2}} [(c_{3} + c_{4}) e_{θ 2}^{} - c_{3} k_{θ} Γ_{θ} + {\ddot{x}}_{3 d} - x_{2} x_{6} a_{2}] (17)

其中， $e_{θ 2}^{} = {({\dot{x}}_{3})}_{d} - {\dot{x}}_{3}$ ， $Γ_{θ} = \int e_{θ} d t$ ，c₃、c₄和k_θ为非负的控制器参数，且满足 $k_{θ} = c_{3}^{2} - 1 \geq 0$ 。

（3）偏航角的控制

首先定义偏航角跟踪误差角为

e_{ψ} = ψ_{d} - ψ = x_{5 d} - x_{5} (18)

其中，x_5d为期望的偏航角轨迹。

由上述方法可得偏航转矩输入量u₄为

u_{4} = \frac{1}{b_{3}} [(c_{5} + c_{6}) e_{ψ 2}^{} - c_{5} k_{ψ} Γ_{ψ} + {\ddot{x}}_{7 d} - x_{2} x_{4} a_{3}] (19)

其中， $e_{ψ 2}^{} = {({\dot{x}}_{5})}_{d} - {\dot{x}}_{5}$ ， $Γ_{ψ} = \int e_{ψ} d t$ ，c₅、c₆为非负的控制器参数， $k_{ψ} = c_{5}^{2} - 1 \geq 0$ 为积分项参数。

3.2 四旋翼飞行器的位置控制

从式（2）和式（4）可以看出，水平坐标x和y 这两个自由度是欠驱动的，分别由φ、θ和ψ间接驱动。

（1）高度位置的控制

关于高度的控制，本文也采用积分反步法。定义高度跟踪误差角为

e_{z 1} = z_{d} - z = x_{7 d} - x_{7} (20)

其中，x_7d为期望的偏航角轨迹。

由上述方法可得高度控制输入量u₁为

u_{1} = \frac{m}{\cos x_{1} \cos x_{3}} [g + (1 - c_{z 1}^{2} + k_{z 1}) e_{z 1} +

(c_{z 1} + c_{z 2}) e_{z 2} - c_{z 1} k_{z 1} Γ_{z} + {\ddot{x}}_{7 d}] (21)

其中， $e_{z 2}^{} = {({\dot{x}}_{7})}_{d} - {\dot{x}}_{7}$ ， $Γ_{z} = \int e_{z} d t$ ，c_z1、c_z2为非负的控制器参数，k_z≥0为积分项参数。

（2）水平位置的控制

由式（3）和式（4）可得期望的横滚角φ_d与俯仰角θ_d分别为

ϕ_{d} = x_{1 d} = \sin^{- 1} (u_{x} \sin x_{5} - u_{y} \cos x_{5}) (22)

θ_{d} = x_{3 d} = \sin^{- 1} [\frac{u_{x}}{\cos x_{1} \cos x_{5}} - \frac{\sin x_{1} \sin x_{5}}{\cos x_{1} \cos x_{5}}] (23)

与式（21）相似，可以得出位置坐标x和y的间接控制输入为

{\begin{matrix} u_{x} = \frac{m}{u_{1}} [e_{x 1} - c_{x 1}^{2} e_{x 1} + k_{x 1} e_{x 1} + c_{x 1} e_{x 2} + c_{x 2} e_{x 2} + {\ddot{x}}_{9 d} - c_{x 1} k_{x 1} Γ_{x}] \\ u_{y} = \frac{m}{u_{1}} [e_{y 1} - c_{y 1}^{2} e_{y 1} + k_{y 1} e_{y 1} + c_{y 1} e_{y 2} + c_{y 2} e_{y 2} + {\ddot{x}}_{11 d} - c_{y 1} k_{y 1} Γ_{y}] \end{matrix} (24)

其中，x_d =x_{9 d}和y_d =y_11d分别为在x和y方向上的期望位置，c_x1、c_x2、k_x1、c_y1、c_y2、k_y1都是非负数， $Γ_{x} = \int e_{x 1} d t$ ， $Γ_{y} = \int e_{y 1} d t$ ；且

{\begin{matrix} e_{x 1} = x_{d} - x = x_{9 d} - x_{9} \\ e_{x 2} = {\dot{x}}_{9 d} - {\dot{x}}_{9} = c_{x 1} e_{x 1} + k_{x 1} Γ_{x} + {\dot{x}}_{9 d} - x_{10} \\ e_{y 1} = y_{d} - y = x_{11 d} - x_{11} \\ e_{y 2} = {\dot{x}}_{11 d} - {\dot{x}}_{11} = c_{y 1} e_{y 1} + k_{y 1} Γ_{y} + {\dot{x}}_{11 d} - x_{12} \end{matrix} (25)

3.3 总体控制流程

综合上述分析可得，基于积分反步法的四旋翼飞行器总体控制流程如图1所示。

图1

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图1 四旋翼飞行器的总体控制流程

4 仿真结果与性能分析

本文中的实验四旋翼飞行器的主要参数见表1。

表1 四旋翼飞行器仿真参数

参数	m（kg）	J_x（kg.m²）	J_y（kg.m²）	J_z（kg.m²）	l（m）
量值	0.6150	0.0154	0.0154	0.0309	0.0305

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4.1 四旋翼飞行器的姿态镇定仿真实验

选取机体姿态的初始状态和目标状态分别为 $(ϕ_{0}, θ_{0}, ψ_{0}) = (45^{\circ}, 30^{\circ}, 60^{\circ})$ ， $ϕ_{d} = θ_{d} = ψ_{d} = 0^{\circ}$ ，仿真时间为20 s。

图2给出了控制模型简化前、后飞行器各姿态角随时间变化的过程。从图中可以看出，横滚角、俯仰角和偏航角都能在各自控制器的作用下在较短时间内迅速、无稳态误差地收敛至期望的目标姿态角。不同的是，控制模型简化后的控制器由于利用积分项参数调节的方式降低了姿态控制力度，其收敛时间（4 s）要略长于控制模型简化前的收敛时间（2 s）。

图2

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图2 控制模型简化前、后飞行器各姿态角随时间变化的曲线

表2给出了四旋翼飞行器在简化前、后的各姿态控制器作用下各步的运算耗时，可以看出，利用积分项简化后，控制模型各步的运行时间较短。

表2 积分项简化后控制模型各步的运行时间平均值

控制器	单步运行时间平均值（s）
简化前	4.5733 ×10^-5
简化后	2.2341 ×10^-5

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图2和表2说明了本文提出的以积分项参数调节的方式来简化姿态控制模型的方案是可行的，可将其应用到飞行器定点到达和轨迹跟踪的仿真实验中。

4.2 四旋翼飞行器的定点到达仿真实验

下面的实验是为了验证简化后的积分反步法控制器可实现飞行器的定点到达。选定四旋翼飞行器的初始平衡点和目标状态分别为

{\begin{cases} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (0, 0, 0) \\ ({\dot{x}}_{0}, {\dot{y}}_{0}, {\dot{z}}_{0}) = (1, - 2, 0) \\ ϕ_{0} = θ_{0} = ψ_{0} = 0^{\circ} \end{cases} ， {\begin{cases} (x_{d}, y_{d}, z_{d}) = (20, 30, 50) \\ ψ_{d} = 60^{\circ} \end{cases}

其中，位置和速度的单位分别为 s 和 m/s，仿真时间为60 s。

图3给出了四旋翼飞行器各位置信息随时间变化的曲线。从图中可以看出，简化后的积分反步法控制器可使飞行器最终到达期望的位置定点。

图3

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图3 四旋翼飞行器各位置信息随时间变化的曲线

图4给出了四旋翼飞行器各姿态角随时间变化的曲线。可以看出，横滚角和俯仰角虽然在简化后的控制器作用下最终都能收敛到一个稳定值，但是其振荡幅值较大且相比于偏航角收敛速度较慢。这是因为期望偏航角是事先设置的，是一个稳定的值，但期望的横滚角和俯仰角是按照无人机的其他参数实时获取的，是不确定的参数，故相对于其他两个姿态角的跟踪过程，偏航角的振荡幅值更小，收敛时间更短。

图4

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图4 四旋翼飞行器各姿态角随时间变化的曲线

4.3 四旋翼飞行器的轨迹跟踪仿真实验

下面的实验是为了验证简化后的积分反步法控制器可实现飞行器的轨迹跟踪。选定四旋翼飞行器在平衡点处，即(x₀,y₀,z₀)=(1,1,0)， $ϕ_{0} = θ_{0} = ψ_{0} = 0^{\circ}$ 。将跟踪轨迹设定为x_d=0.4sin t， y_d=0.5sin t，z_d=0.3sin t，ψ_d =30 sin t。位置、速度的单位分别为s、m/s，仿真时间为100 s。

图5,图6,图7给出了在简化后的控制器作用下四旋翼飞行器的实际飞行位置和期望位置及其偏差曲线。可以看出，简化后的飞行器能较好地跟踪期望轨迹，并且其水平位置和高度位置能分别在10 s和40 s内无误差地稳定跟踪。

图5

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图5 x方向上的实际飞行位置和期望位置及其偏差曲线

图6

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图6 y方向上的实际飞行位置和期望位置及其偏差曲线

图8至图9给出了在简化后的控制器作用下四旋翼飞行器各姿态角随时间变化的曲线。可以看出，简化后的控制器能够使偏航角快速地跟踪上期望的正弦路线，且不会产生稳定的误差；同时，虽然没有给定规则的期望横滚角和俯仰角，但水平位置的稳定会使横滚角和俯仰角形成一个稳定的轨迹。

图7

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图7 z方向上的实际飞行位置和期望位置及其偏差曲线

图8

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图8 四旋翼飞行器横滚角和俯仰角随时间变化的曲线

图9

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图9 四旋翼飞行器偏航角随时间变化的曲线及其偏差曲线

综合上述实验结果可知，基于积分反步法的四旋翼飞行器控制设计能实现位置和姿态的有效控制。

5 结束语

本文提出了一种基于积分反步法的飞行控制律设计方法。利用反步法的李雅普诺夫稳定性理论，保证了飞行器PID控制器的稳定性，同时鉴于姿态控制子系统的完全驱动特性，通过加入积分项和设置合理的积分项参数等，达到简化控制器模型的目的。仿真实验结果表明，简化后的积分反步法四旋翼飞行器控制设计能够无误差地实现其各姿态跟踪、定点达到、位置与偏航角的轨迹跟踪。

The authors have declared that no competing interests exist.

作者已声明无竞争性利益关系。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

KAYACAN

, MASLIM

Type-2 fuzzy logic trajectory tracking control of quadrotor VTOL aircraft with elliptic membership functions

[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2017,22(2): 339-348.